Chào mừng bạn đến với thế giới năng động của Các hàm vectơ. Khác với các phương trình tĩnh trong quá khứ, các hàm vectơ cho phép chúng ta mô tả quỹ đạo của một điểm chuyển động trong không gian. Hãy tưởng tượng một hạt đang di chuyển qua khoảng trống; vị trí của nó tại bất kỳ thời điểm nào $t$ được xác định bởi một vectơ gắn ở gốc tọa độ, chỉ đến vị trí của nó trong không gian ba chiều.
Định nghĩa của đường cong không gian
Khi chúng ta ánh xạ một tham số thực $t$ vào ba hàm thành phần riêng biệt, ta xác định một đường cong không gian $C$.
Tập hợp $C$ gồm tất cả các điểm $(x, y, z)$ trong không gian, nơi mà: $$x = f(t) \quad y = g(t) \quad z = h(t)$$ và $t$ thay đổi trong một khoảng $I$, được gọi là một đường cong không gian.
Thay vào đó, chúng ta sử dụng ký hiệu vectơ: $$\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle = f(t)\mathbf{i} + g(t)\mathbf{j} + h(t)\mathbf{k}$$ Ở đây, $\mathbf{r}(t)$ là vectơ vị trí của một hạt chuyển động tại thời điểm $t$.
Các mẫu hình học chính
- Cung xoắn: Một đường cong xoắn lên quanh một hình trụ (thường là $x^2 + y^2 = a^2$). Đây là hình học cơ bản của lò xo và cấu trúc xoắn kép của DNA.
- Đường cong bậc ba bị xoắn: Một đường cong phi phẳng kinh điển được hình dung như giao tuyến của hai hình trụ: $y = x^2$ và $z = x^3$. Nó uốn cong qua cả ba chiều không gian cùng lúc.
Ví dụ từ thực tế
Mô tả đường cong được xác định bởi $\mathbf{r}(t) = \langle 1 + t, 2 + 5t, -1 + 6t \rangle$.
Phân tích: Đây là phương trình tham số của một đường thẳng. Đường thẳng đi qua điểm $(1, 2, -1)$ và tuân theo vectơ hướng $\mathbf{v} = \langle 1, 5, 6 \rangle$.
Vẽ đồ thị đường cong $\mathbf{r}(t) = \cos t \mathbf{i} + \sin t \mathbf{j} + t \mathbf{k}$.
Phân tích: Các thành phần $x = \cos t$ và $y = \sin t$ thỏa mãn $x^2 + y^2 = 1$, có nghĩa là đường cong nằm trên một hình trụ tròn. Khi $t$ tăng, $z=t$ kéo điểm đi lên trên, tạo thành một đường xoắn.
Sử dụng máy tính để trực quan hóa $\mathbf{r}(t) = \langle t, t^2, t^3 \rangle$.
Phân tích: Đường cong này bị "xoắn" vì nó là giao tuyến của hình trụ parabol $y = x^2$ và hình trụ bậc ba $z = x^3$. Đây là một ví dụ tiêu biểu cho một đường cong không nằm trong một mặt phẳng duy nhất.